что можно сказать о значении правильной дроби

Дроби обыкновенные правильные и неправильные, смешанные и составные.

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные вида и десятичные.

Числитель дроби — число, показывающее количество взятых долей (находится в верхней части дроби – над чертой). Знаменатель дроби — число, показывающее, на сколько долей разделена единица (находится под чертой – в нижней части). Обыкновенные дроби, в свою очередь делятся на: правильные и неправильные, смешанные и составные. Обыкновенные дроби тесно связаны с единицами измерения. 1 метр содержит в себе 100 см. Что означает, что 1 м разделён на 100 равных долей. Таким образом, 1 см = 1/100 м (один сантиметр равен одной сотой метра).

или 3/5 (три пятых), здесь 3 — числитель, 5 — знаменатель. Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и называется правильной:

Если числитель равен знаменателю, дробь равна единице. Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы. В обоих последних случаях дробь называется неправильной:

Чтобы выделить наибольшее целое число, содержащееся в неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель. Если деление выполняется без остатка, то взятая неправильная дробь равна частному:

Если деление выполняется с остатком, то (неполное) частное дает искомое целое число, остаток же становится числителем дробной части; знаменатель дробной части остается прежним.

Число, содержащее целую и дробную части, называется смешанным. Дробная часть смешанного числа может быть и неправильной дробью. Тогда можно из дробной части выделить наибольшее целое число и представить смешанное число в таком виде, чтобы дробная часть стала правильной дробью (или вовсе исчезла).

К подобному виду обычно и приводят смешанные дроби.

Составные дроби.

Многоэтажной, или составной дробью является дробь, которая содержит в себе несколько горизонтальных (либо реже — наклонных) черт:

либо либо .

Источник

Правильные и неправильные дроби.

Виды дробей.

Как вы уже заметили дроби бывают разные. Например, \(\frac<1><2>, \frac<3><5>, \frac<5><7>, \frac<7><7>, \frac<13><5>, …\)

Делятся дроби на два вида правильные дроби и неправильные дроби.

В правильной дроби числитель меньше знаменателя, например, \(\frac<1><2>, \frac<3><5>, \frac<5><7>, …\)

В неправильной дроби числитель больше или равен знаменателю, например, \(\frac<7><7>, \frac<9><4>, \frac<13><5>, …\)

Правильная дробь всегда меньше единицы. Рассмотрим пример:

Единицу мы можем представить как дробь \(1 = \frac<3><3>\)

Знаменатели одинаковые равны числу 3, далее сравниваем числители.

Вопросы по теме “Правильные или неправильные дроби”:
Может ли правильная дробь быть больше 1?
Ответ: нет.

Может ли правильная дробь равна 1?
Ответ: нет.

Может ли неправильная дробь меньше 1?
Ответ: нет.

Пример №1:
Напишите:
а) все правильные дроби со знаменателем 8;
б) все неправильные дроби с числителем 4.

Решение:
а) У правильных дробей знаменатель больше числителя. Нам нужно в числитель поставить числа меньшие 8.
\(\frac<1><8>, \frac<2><8>, \frac<3><8>, \frac<4><8>, \frac<5><8>, \frac<6><8>, \frac<7><8>.\)

б) В неправильной дроби числитель больше знаменателя. Нам нужно в знаменатель поставить числа меньшие 4.
\(\frac<4><4>, \frac<4><3>, \frac<4><2>, \frac<4><1>.\)

Пример №2:
При каких значениях b дробь:
а) \(\frac<12>\) будет правильной;
б) \(\frac<9>\) будет не правильной.

Решение:
а) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
б) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Задача №1:
Сколько минут в часе? Какую часть часа составляет 11 мин.?

Ответ: В часе 60 минут. Три минуты составят \(\frac<11><60>\) часа.

Источник

Дробь. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Содержание

Дробь. Числитель и знаменатель дроби

Дробь записывают при помощи двух натуральных чисел, одно из которых стоит над горизонтальной чертой, а второе – под нею.

Знаменатель дроби показывает, на сколько одинаковых долей мы делим предмет или величину, а числитель дроби показывает, сколько таких долей взято.

Из рисунка 1 видно, что 24 километра составляют 4 из 7 частей маршрута. Таким образом, 1 часть маршрута равна

а весь маршрут равен

Термин дробь имеет синонимы: простая дробь, обыкновенная дробь, рациональная дробь, дробное число.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

– правильная дробь, и – неправильные дроби.

Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби. Эту операцию называют выделением целой части из неправильной дроби и осуществляют при помощи деления с остатком числителя неправильной дроби на знаменатель.

Число является примером смешанного числа. Целое число 2 и правильную дробь называют целой и дробной частью смешанного числа соответственно.

Любое смешанное число всегда можно обратить в неправильную дробь, например,

Основное свойство дроби, сокращение дробей, несократимая дробь

Основным свойством дроби называют следующее

При помощи сокращений любую дробь можно превратить в равную ей несократимую дробь.

Источник

Урок 35 Бесплатно Правильные и неправильные дроби

На этом уроке мы вспомним, что такое обыкновенная дробь.

Рассмотрим, какие виды обыкновенных дробей существуют и выясним, какую дробь считают правильной, а какую неправильной и научимся сравнивать их.

Определим месторасположение правильной и не правильной дроби на координатном луче.

Разберем несколько задач на нахождение части целого и целого по его части, в которых часть представлена в виде обыкновенной неправильной дроби.

Правильные дроби

Вам уже известно, что дробь представляет собой часть некоторой величины.

Обыкновенная дробь записывается двумя числами, разделенных чертой, которая называется дробной (она может быть горизонтальной и наклонной).

Число, стоящее над дробной чертой, называют числителем.

Числитель показывает, сколько долей взяли от целого.

Число, стоящее под дробной чертой, называют знаменателем.

Знаменатель показывает, на сколько всего равных долей разделили целое.

Дробь можно получить следующим образом: разделить целое на равные части и взять несколько из этих частей.

В качестве примера рассмотрим такую ситуацию.

Плитку молочного шоколада разделили на 8 равных долек и из них взяли и съели 4.

Восемь долек шоколадки- это одна целая плитка шоколада.

Одна долька этой шоколадки представляет собой 1/8 всей плитки.

Четыре дольки из восьми можно записать дробью, получим дробь 4/8 (четыре восьмых).

Дробь 4/8 указывает на то, что целое разделили на восемь равных частей и из них взяли четыре.

8 (общее количество долей)- знаменатель дроби 4/8.

4 (количество долей, которые взяли)- числитель дроби 4/8.

Обратим внимание на члены этой дроби (числитель и знаменатель).

4 и 8— это два натуральных числа, причем если их сравнить, то мы можем заметить, что число 4 меньше 8, т.е. числитель меньше знаменателя.

Обыкновенная дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью.

Давайте выясним являются ли дроби 5/8, 6/8, 7/8 правильными.

Для данной дроби 5— это числитель, 8— это знаменатель.

Одну и ту же обыкновенную дробь можно представить разными способами.

Разделить целое на четыре части и взять две, будет тоже самое, что разделить это целое на две части и взять одну.

Такой же результат получится, если разделить все тоже целое на шесть равных частей и взять из них три и т.д.

Существует бесконечное множество дробей, равных половине целого.

Так, например, одна вторая получается, и в таких случаях: целое разделить на восемь частей и взять из них четыре (1/2 = 4/8), из десяти частей взять пять (1/2 = 5/10), из пятидесяти частей взять двадцать пять (1/2 = 25/50) и т.д.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Неправильные дроби

Выясним, какую дробь называют неправильной на следующем примере:

На праздник купили один большой торт и разрезали его на девять одинаковых частей (9 долей).

Каждый гость съел по кусочку этого торта, в результате торта больше не осталось.

Получается, что гости съели девять кусочков торта из девяти возможных.

В таком случае дробь \(\mathbf<\frac<9><9>>\) будет показывать, что целое (весь торт) разделили на 9 долей и потом все эти 9 частей взяли, т.е. съели весь торт.

В данной дроби 9 (общее количество долей)- знаменатель дроби \(\mathbf<\frac<9><9>>\).

9 (количество долей, которые взяли)- числитель дроби \(\mathbf<\frac<9><9>>\).

Очевидно, что дробь \(\mathbf<\frac<9><9>>\) будет равна единице.

Любая дробь, в которой числитель равен знаменателю, равна единице.

Дробь \(\mathbf<\frac>\), где n = m, всегда равна единице.

Давайте выясним может ли обыкновенная дробь больше единицы.

Рассмотрим еще одну ситуацию.

Допустим, на праздник купили два одинаковых торта.

Каждый торт разрезали на девять равных частей.

За все время праздника гости съели 13 кусочков торта.

От второго торта осталось 5 несъеденных куска.

Когда разделили оба торта на 9 равных частей, в итоге получили 18 одинаковых кусочков (равных долей), они составляют два целых торта.

\(\mathbf<\frac<9><9>>\)— первый торт.

\(\mathbf<\frac<9><9>>\)— второй торт.

Получается из этих 18 кусочков съели 13, т.е. 1 целый торт и еще 4 кусочка.

Четыре кусочка от второго торта будут выражаться дробью \(\mathbf<\frac<4><9>>\).

В таком случае получаем \(\mathbf<\frac<9><9>>\) (один целый торт), да еще \(\mathbf<\frac<4><9>>\) второго торта- это часть кусочков торта, которые съели.

9 долей первого торта + 4 доли второго торта = \(\mathbf<\frac<13><9>>\) торта съели на празднике.

Так как каждый торт был разрезан на 9 частей, то в знаменателе дроби \(\mathbf<\frac<13><9>>\) стоит цифра 9.

Осталось пять частей торта, т.е. \(\mathbf<\frac<5><9>>\) торта- часть второго торта.

Обратите внимание на дроби \(\mathbf<\frac<9><9>>\) и \(\mathbf<\frac<13><9>>\).

В дроби \(\mathbf<\frac<9><9>>\) знаменатель равен 9 (общее количество долей), числитель равен 9 (количество долей, которые взяли).

9 = 9- числитель равен знаменателю.

В дроби \(\mathbf<\frac<13><9>>\) знаменатель равен 13 (общее количество долей), числитель равен 9 (количество долей, которые взяли).

13 > 9— числитель больше знаменателя.

Обыкновенную дробь, в которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной дробью.

Правило: Любая неправильная дробь больше единицы или равна ей.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Необходимо понимать, что термин «неправильная» не говорит о том, что дробь неверная и с ней невозможно производить различные математические операции.

Дробь называют неправильной, так как она отличается от стандартного понимания дроби.

Неправильная дробь всегда содержит некоторую целую часть и дробную.

На следующих занятиях мы научимся выделять целую и дробную часть и производить с такими числами различные арифметические операции

Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, данная запись будет выглядеть так:

Дробь с числителем а, где а— любое натуральное число, и знаменателем, равным единице- это еще одна верная форма записи натурального числа а.

Натуральное число 3 = \(\mathbf<\frac<3><1>>\)

\(\mathbf<\frac<3><1>>\)- неправильная дробь, так как числитель (3) больше знаменателя (1).

\(\mathbf<\frac<24><1>>\)- неправильная дробь, так как числитель (24) больше знаменателя (1).

\(\mathbf<\frac<1245><1>>\)- неправильная дробь, так как числитель (1245) больше знаменателя (1).

Сравнивая правильную и неправильную дробь, можно однозначно сказать, что любая неправильная дробь больше правильной.

Определите какая из дробей \(\mathbf<\frac<7><8>>\) и \(\mathbf<\frac<8><7>>\) больше, какая меньше.

\(\mathbf<\frac<7><8>>\)— правильная дробь (числитель меньше знаменателя), а \(\mathbf<\frac<8><7>>\)— неправильная дробь (числитель больше знаменателя), следовательно \(\mathbf

В математике различают два вида обыкновенных дробей:

1. Правильная (числитель меньше знаменателя).

2. Неправильная дробь (числитель больше знаменателя или равен ему).

Выясним, где на координатном луче изображают правильные и неправильные дроби.

Любому дробному числу соответствует конкретное место на координатном луче.

Чтобы обозначить на координатном луче точку с координатой \(\mathbf<\frac>\), необходимо от начала координат отложить m отрезков, длина каждого такого отрезка должна составлять \(\mathbf<\frac<1>>\) от единичного отрезка.

Чтобы найти число \(\mathbf<\frac<1>>\), нужно единичный отрезок разделить на n равных частей.

Рассмотрим поясняющий пример.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

Определим расположение точек A(\(\mathbf<\frac<2><6>>\)), B(\(\mathbf<\frac<11><6>>\)), D(\(\mathbf<\frac<6><6>>\)) на координатном луче.

Так как знаменатель каждой данной дроби равен шести, то разобьем единичный отрезок ОЕ на шесть равных частей-отрезков, каждая часть будет равна \(\mathbf<\frac<1><6>>\) ОЕ.

Правильная дробь \(\mathbf<\frac<2><6>>\) представляет собой две части (доли) из шести.

Следовательно, точка А(\(\mathbf<\frac<2><6>>\)) удалена от начала координат на расстояние двух отрезков, равных одной доле единичного отрезка- \(\mathbf<\frac<1><6>>\) ОЕ.

Отметим тот факт, что \(\mathbf<\frac<2><6>>\) правильная дробь, а это значит она меньше единицы.

На координатном луче данная точка располагается между числами 0 и 1, т.е. левее точки E(1).

Выясним, где на координатном луче будет располагаться точка D (\(\mathbf<\frac<6><6>>\)).

Известно, что дробь, у которой числитель равен знаменателю, представляет собой неправильную дробь, равную единице.

Дробь \(\mathbf<\frac<6><6>>\) означает шесть частей из шести- это единица.

Отметим точку D (\(\mathbf<\frac<6><6>>\)) на координатном луче, для этого отсчитаем 6 отрезков от начала координат, в результате попадаем в точку Е(1).

Точка с координатой \(\mathbf<\frac<6><6>>\) совпадает с точкой Е(1), в результате получаем сам единичный отрезок ОЕ.

Обозначим на координатном луче точку В с координатой \(\mathbf<\frac<11><6>>\).

Дробь \(\mathbf<\frac<11><6>>\) означает шесть частей (т.е. один единичный отрезок ОЕ) и еще пять таких частей.

Отложим от начала координат один единичный отрезок и от него отсчитаем еще пять делений, каждый из которых равен \(\mathbf<\frac<1><6>>\) единичного отрезка (в общем говоря, нам необходимо отсчитать от начала координат 11 делений, равных \(\mathbf<\frac<1><6>>\) ОЕ).

Нам несложно заметить, что неправильная дробь, у которого числитель больше знаменателя, лежит на координатном луче правее единицы.

На самом деле, такая неправильная дробь выражает некоторую целую часть, да еще часть целого.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Обыкновенные дроби

Доля целого

Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.

Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.

У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.

Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.

Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:

Понятие дроби

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

Виды дробей:

Какие еще бывают дроби:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.

Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:

где a, b, k — натуральные числа.

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!

Действия с дробями

С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.

Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере делим обе части дроби на двойку.

Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.

Чтобы умножить два смешанных числа, надо:

Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.

Для деления смешанных чисел необходимо: