что называется линией действия силы

Линией действия силы называется прямая, вдоль которой действует сила.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Реальные физические тела в результате действия на них других тел меняют свою форму и размеры, т.е. деформируются. Однако, такие деформации, как правило, незначительны и не влияют на движение тела, поэтому в механике ими пренебрегают и считают рассматриваемые тела абсолютно твердыми.

Абсолютно твердым называется такое тело, расстояния между двумя любыми точками которого остаются неизменными независимо от действий на него других тел.

Для краткости термин абсолютно твердое тело заменяется термином «твердое тело» или просто «тело».

Состояние движения или покоя данного тела зависит от механических взаимодействий с другими телами. Мерой такого взаимодействия является сила.

Силой называется векторная величина, определяющая меру механического взаимодействия двух тел.

Характеристиками действия силы являются:

а) численное значение силы или ее модуль (единицы измерения H, kH);

б) направление силы;

в) точка ее приложения.

Линией действия силы называется прямая, вдоль которой действует сила.

Системой сил называется совокупность сил, приложенных к одному твердому телу.

Систему сил, приложенных к данному твердому телу (рис.3), обозначают:

Наиболее часто встречаются следующие системы сил:

а) система сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке;

б) система параллельных сил;

в) плоская система сил, т.е. сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.

Эквивалентными называются такие две системы сил, каждую их которых можно заменить другой, не изменяя состояния покоя или характер движения тела: ¥ .

Равнодействующей называется сила, эквивалентная системе сил:

¥ .

Уравновешенной или эквивалентной нулю называется система сил, под действием которой тело находится в покое.

¥0.

Парой сил называется система не имеющих общею линию двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил (рис.4)

Пару сил обозначают: .

Свободным называется твердое тело, не скрепленное с другими телами, которому можно сообщить из данного положения любое перемещение в пространстве.

Источник

Момент силы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Сила: что это за величина

В повседневной жизни мы часто встречаем, как любое тело деформируется (меняет форму или размер), ускоряется или тормозит, падает. В общем, чего только с разными телами в реальной жизни не происходит. Причиной любого действия или взаимодействия является сила.

Она измеряется в Ньютонах — это единица измерения названа в честь Исаака Ньютона.

Сила — величина векторная. Это значит, что, помимо модуля, у нее есть направление. От того, куда направлена сила, зависит результат.

Вот стоите вы на лонгборде: можете оттолкнуться вправо, а можете влево — в зависимости от того, в какую сторону оттолкнетесь, результат будет разный. В данном случае результат выражается в направлении движения.

Плечо силы

Для начала давайте разберемся, что такое плечо силы — оно нам сегодня очень пригодится.

Представьте человека. Совершенно обычного. Если он совершенно обычный, у него точно будут плечи — без них получится уже какой-то инопланетянин. Если мы прочертим прямую вдоль линии плеча, а потом еще одну — вдоль линии руки — мы получим две пересекающиеся прямые. Угол между такими прямыми будет равен 90 градусов, а значит эти линии перпендикулярны.

Как анатомическое плечо перпендикулярно руке, так и в физике плечо перпендикулярно, только уже линии действия силы.

То есть перпендикуляр, проведенный от точки опоры до линии действия силы —это плечо силы.

Рычаг

В каждом дворе есть качели, для которых нужны два качающихся (если в вашем дворе таких нет, посмотрите в соседнем). Большая доска ставится посередине на точку опоры. По сути своей, качели — это рычаг.

Рычаг — простейший механизм, представляющий собой балку, вращающуюся вокруг точки опоры.

Хорошо, теперь давайте найдем плечо этой конструкции. Возьмем правую часть качелей. На качели действует сила тяжести правого качающегося, проведем перпендикуляр от линии действия силы до точки опоры. Получилась, что плечо совпадает с рычагом, разве что рычаг — это вся конструкция, а плечо — половина.

Давайте попробуем опустить качели справа, тогда что получим: рычаг остался тем же самым по длине, но вот сместился на некоторый угол, а вот плечо осталось на том же месте. Если направление действия силы не меняется, как и точка опоры, то перпендикуляр между ними невозможно изменить.

Момент силы

При решении задач на различные силы нам обычно хватало просто сил. Сила действует всегда линейно (ну в худшем случае под углом), поэтому очень удобно пользоваться законами Ньютона, приравнивать разные силы. Это работало с материальными точками, но не будет так просто применяться к телам, у которых есть форма и размер.

Вот мы приложили силу к краю палки, но при этом не можем сказать, что на другом ее конце будут то же самое ускорение и та же самая сила. Для этого мы вводим такое понятие, как момент силы.

Момент силы — это векторное произведение силы на плечо. Для определения физического смысла можно сказать, что момент — это вращательное действие.

Момент силы

M = Fl

M — момент силы [Н*м]
F — сила [Н]
l — плечо [м]

Вернемся к примеру с дверями. Вот мы приложили силу к краю двери — туда, где самый длинный рычаг. Получаем некоторое значение момента силы.

Теперь ту же силу приложим ближе к креплению двери, там, где плечо намного короче. По формуле получим момент меньшей величины.

На себе мы это ощущаем таким образом: нам легче толкать дверь там, где момент больше. То есть, чем больше момент, тем легче идет вращение.

То же самое можно сказать про гаечный ключ. Чтобы закрутить гайку, нужно взяться за ручку дальше гайки.

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения плеча.

Расчет момента силы

Сейчас рассмотрим несколько вариантов того, как момент может рассчитываться. По идее просто нужно умножить силу на плечо, но поскольку мы имеем дело с векторами, все не так просто.

Если сила расположена перпендикулярно оси стержня, мы просто умножаем модуль силы на плечо.

Расстояние между точками A и B — 3 метра.

Момент силы относительно точки A:

Если сила расположена под углом к оси стержня, умножаем проекцию силы на плечо.

Обратите внимание, что такие задания могут встретиться только у учеников не раньше 9 класса!

Момент силы относительно точки B:

Если известно расстояние от точки до линии действия силы, момент рассчитывается как произведение силы на это расстояние (плечо).

Момент силы относительно точки B:

Правило моментов

Вернемся к нашим баранам качелям. Мы умудряемся на них качаться, потому что существует вращательное действие — момент. Силы, с которыми мы действуем на разные стороны этих качелей могут быть разными, но вот моменты должны быть одинаковыми.

Правило моментов говорит о том, что если рычаг не вращается, то сумма моментов сил, поворачивающих рычаг против часовой стрелки, равна сумме моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке.

Это условие выполняется относительно любой точки.

Правило моментов

M1 + M2 +. + Mn = M’1 + M’2 +. + M’n

M1 + M2 +. + Mn — сумма моментов сил, поворачивающих рычаг по часовой стрелке [Н*м]

Давайте рассмотрим этот закон на примере задач.

Задача 1

К левому концу невесомого стержня прикреплен груз массой 3 кг.

Стержень расположили на опоре, отстоящей от его левого конца на 0,2 длины стержня. Чему равна масса груза, который надо подвесить к правому концу стержня, чтобы он находился в равновесии?

Решение:

Одним из условий равновесия стержня является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно точки опоры. Момент, создаваемый левым грузом равен mgL5 он вращает стержень против часовой стрелки. Момент, создаваемый правым грузом:Mg4L5 — он вращает по часовой.

Приравнивая моменты, получаем, что для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой
M = m : 4 = 3 : 4 = 0,75 кг

Ответ: для равновесия к правому концу стержня необходимо подвесить груз массой 0,75 кг

Задача 2

Путешественник несёт мешок с вещами на лёгкой палке. Чтобы удержать в равновесии груз весом 80 Н, он прикладывает к концу B палки вертикальную силу 30 Н. OB = 80 см. Чему равно OA?

Решение:

По правилу рычага: FB/FA=|OA|/|OB| где FA и FB — силы, приложенные соответственно к точкам A и B. Выразим длину OA:

Ответ: расстояние ОА равно 30 см

Задача 3

Тело массой 0,2 кг подвешено к правому плечу невесомого рычага (см. рисунок). Груз какой массы надо подвесить ко второму делению левого плеча рычага для достижения равновесия?

Решение:

По правилу рычага m1g*l1=m2g*l2

Отсюда m2=l1/l2*m1=3/2*0,2 = 0,3 кг

Ответ: Масса груза равна 0,3 кг

Задача 4

На железной дороге для натяжения проводов используется показанная на рисунке система, состоящая из легких блоков и тросов, натягиваемых тяжелым грузом. Чему равна сила натяжения провода?

Решение:

Система на рисунке состоит из трех блоков: двух подвижных и одного неподвижного. Назначение неподвижного блока заключается только в том, что он меняет направление действия силы, однако никакого выигрыша в силе при этом не возникает. Каждый подвижный блок, напротив, дает выигрыш в силе.

Определим силу, с которой натянута первая нить. Груз растягивает ее с силой:
T = mg = 10*10 = 100 Н

Рассмотрим теперь первый подвижный блок. Так как вся система статична, полная сила, действующая на этот блок, должна быть равна нулю. Первая нить тянет его направо с суммарной силой 2T, значит, натяжение второй нити тоже должно быть равно 2T (вот он — выигрыш в силе). Аналогичное рассмотрение для второго подвижного блока показывает, что натяжение провода должно быть равно

Ответ: натяжение провода равно 400 Н

Задача 5 — a.k.a самая сложная задачка

Под действием силы тяжести mg груза и силы F рычаг, представленный на рисунке, находится в равновесии. Вектор силы F перпендикулярен рычагу, груз на плоскость не давит. Расстояния между точками приложения сил и точкой опоры, а также проекции этих расстояний на вертикальную и горизонтальную оси указаны на рисунке.

Если модуль силы F равен 120 Н, то каков модуль силы тяжести, действующей на груз?

Решение:

Одним из условий равновесия рычага является то, что полный момент всех внешних сил относительно любой точки равен нулю. Рассмотрим моменты сил относительно опоры рычага. Момент, создаваемый силой F, равен F*5 м и он вращает рычаг по часовой стрелке. Момент, создаваемый грузом относительно этой точки — mg*0,8 м, он вращает против часовой. Приравнивая моменты, получаем выражение для модуля силы тяжести

Ответ: модуль силы тяжести, действующей на груз равен 750 Н

Источник

Статика. Момент силы.

Момент силы вычисляют при помощи формулы:

Плечо силы – это самое короткое расстояние от линии действия силы до оси вращения тела. На рисунке ниже изображено твердое тело, которое может вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела является перпендикулярной к плоскости рисунка и проходит через точку, которая обозначена как буква О. Пле­чом силы F_t здесь оказывается расстояние l, от оси вращения до линии действия силы. Определяют его таким образом. Первым шагом проводят линию действия силы, далее из т. О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра оказывается плечом данной силы.

Момент силы характеризует вращающее действие силы. Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу необходимо приложить, чтобы получить желаемый результат, то есть один и тот же момент силы (см. рис. выше). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, намного сложнее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть намного легче длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н, плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н · м).

Правило моментов.

Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М₁ вращающей его по часовой стрелке, равняется моменту силы М₂, которая вращает его против часовой стрелки:

Момент силы принято считать положительным, если тело вращается по часовой стрелке, и от­рицательным, если — против.

Правило моментов есть следствие одной из теорем механики, которая была сформулирована французским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Пара сил.

Если на тело действуют 2 равные и противоположно направленные силы, которые не лежат на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, так как результирующий момент этих сил относительно любой оси не равняется нулю, так как обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил. Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена «свободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси. проходящей через центр тяжести тела, рисунке б.

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние l между силами, которое называется плечом пары, независимо от того, на какие отрезки l, и разделяет положение оси плечо пары:

.

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи­тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме нить действием одной пары сил с тем же моментом.

Источник

Лекция 1. Основные понятия и положения статики. Сходящаяся система сил

1.1. Основные определения

Решение многих важных технических задач сводится к изучению механического движения и механического взаимодействия различных материальных тел – конструкций, машин, механизмов и их деталей и т.д. Наука о механическом движении и взаимодействии тел называется механикой.

Под механическим движением понимают изменение взаимного положения тел в пространстве с течением времени. Тело называют свободным, если его движение не стеснено другими телами. В противном случае тело называется несвободным. Механическим взаимодействием называется такое действие тел друг на друга, которое может вызвать изменение движения этих тел или их формы.

Диапазон проблем, изучаемых механикой, весьма широк. В зависимости от того, движение каких именно тел рассматривается, выделяют механику жидкости и газа, механику деформируемого твердого тела (включая теорию упругости и теорию пластичности). Наиболее общие законы механического движения и взаимодействия материальных тел изучает теоретическая механика. Как правило, в данном разделе науки рассматриваются материальные точки и абсолютно твердые тела.

Тело называют материальной точкой, если его размерами в условиях задачи можно пренебречь. Абсолютно твердое тело характеризуется тем, что расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным. Иными словами, абсолютно твердое тело не подвержено деформации.

Разумеется, и материальная точка, и твердое тело – это идеализации. В реальности не существует тел с бесконечно малыми размерами, равно как и тел, которые нельзя деформировать. Так, поверхность стола прогибается даже под весом пушинки; дождевая капля, падающая с высоты километра, имеет небольшие, но вполне определенные размеры. Однако во многих практически важных случаях малыми деформациями, а также размерами некоторых тел можно пренебречь. Это существенно упрощает поставленные задачи, но их решения будут вполне пригодны и для описания реальных деформируемых тел конечных размеров.

На достижениях теоретической механики базируются и многие специальные технические дисциплины, например, теория механизмов и машин.

Мерой интенсивности механического взаимодействия является сила. Это векторная величина: она характеризуется своим числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения.

Пример. Чтобы открыть дверь, к ней следует приложить некоторое усилие. В зависимости от того, куда и в каком направлении приложено это усилие, эффект будет различным. Так, если дверь толкать в точке ее подвеса, она не повернется. Аналогично, она не будет двигаться, если толкать ее в торец параллельно дверному полотну. Подробнее этот пример будет рассмотрен в Лекции 3.

В интернациональной системе единиц СИ модуль силы измеряется в ньютонах (Н). Один ньютон равен силе, с которой Земля притягивает к себе тело массой примерно 102 г, находящееся вблизи земной поверхности.

Замечание. В системе СГС («сантиметр, грамм, секунда») единицей измерения силы служит дина: 1 дин = 10 –5 Н. В технической системе единиц МКГСС («метр, килограмм-сила, секунда») сила измеряется в килограмм-силах (кГ или кгс): 1 кГ = 9.81 Н. Килограмм-сила равна силе, с которой сила тяжести действует на тело массой 1 кг. В настоящее время эта единица считается устаревшей и, по мнению Международной органиации законодательной метрологии, должна быть выведена из обращения. Тем не менее, она еще продолжает встречаться в технической литературе.

Далее векторные величины обозначаются стрелочками (\(\vec F\)), а их модули (числовые значения) – как правило, теми же буквами, но без дополнительных знаков: F. Иногда запись вида &quotF» будет символизировать проекцию силы на координатную ось, а для модуля силы \(\vec F\) мы будем использовать обозначение \(|\vec F|\).

Линией действия силы называется прямая, проходящая параллельно силе через ее точку приложения (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Сила \(\vec F\) приложена к точке A. Линия действия силы показана штрихом

Вся совокупность сил, приложенных к данному телу (или системе тел), называется системой сил (рис. 1.2).

Рис. 1.2. К телу приложена система из трех сил

Система сил называется плоской, если все их линии действия лежат в одной плоскости. В противном случае систему называют пространственной.

Очевидно, прикладывая к телу разные системы сил, мы сможем оказать на него разное действие. Говорят, что системы сил эквивалентны, если они оказывают на тело одинаковое воздействие. Если заданная система эквивалентна одной силе, эту силу называют равнодействующей данной системы. Уравновешивающая сила равна равнодействующей по модулю, противоположна по направлению и действует вдоль той же прямой (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Силы \(\vec R\) и \(\vec Q\) являются, соответственно, равнодействующей и уравновешивающей для системы \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\)

Отметим, что не у каждой системы сил есть равнодействующая (и, соответственно, уравновешивающая). Примеры систем сил, не имеющих равнодействующей, будут приведены в Лекции 3 и Лекции 6.

Силы, приложенные к телу или системе тел, можно подразделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие со стороны тел, на принадлежащих изучаемой системе тел. Силы, действующие между телами, входящими в систему (или между частями одного тела) называются внутренними.

Пример. По отношению к наполненному воздухом воздушному шару сила земного притяжения будет внешней, а силы, с которыми молекулы горячего воздуха бьют об оболочку шара, раздувая ее, – внутренними. В то же время, если рассмотреть только оболочку шара, то силы ударов молекул будут внешними. Напротив, при рассмотрении системы «Земля + воздушный шар» сила земного притяжения оказывается внутренней.

Различают также сосредоточенные и распределенные силы. Сила называется сосредоточенной, если приложена к телу в одной конкретной точке. До сих пор в этой лекции речь шла только о сосредоточенных силах. Распределенные силы (их также называют распределенной нагрузкой) действуют на все точки, принадлежащие некоторому объему, поверхности или отрезку какой-либо линии. Сосредоточенные силы являются удобной идеализацией: действия над ними легко заменить действиями над векторами, но на практике невозможно приложить усилие к одной-единственной точке. Силу считают сосредоточенной, когда объем (площадь, длина) той области, на которой она распределена, много меньше объема всей области, рассматриваемой в задаче. Далее в пособии в большинстве случаев это ограничение считается выполненным; тот факт, что та или иная сила является распределенной, каждый раз оговаривается особо.

Пример. Силу, развиваемую при надавливании канцелярской кнопкой на стол, можно считать сосредоточенной, поскольку площадь соприкосновения заостренной части кнопки с поверхностью стола весьма мала. Опираясь на стол рукой, мы прикладываем к нему распределенное усилие, ибо ладонь соприкасается с поверхностью стола на гораздо большей площади.

Под действием некоторой системы сил тело может оказаться в равновесии, т.е. не изменять своего положения относительно других тел (например, относительно Земли) или двигаться относительно них прямолинейно и равномерно. В таком случае систему сил, приложенных к телу, называют уравновешенной (экивалентной нулю).

Замечание. Как видно, понятие равновесия является более общим, чем понятие покоя. Действительно, состояние покоя можно рассматривать как движение с постоянной нулевой скоростью. По определению, механическое взаимодействие, выражаемое силой, может привести к изменению движения (а не положения непосредственно). Если тело движется прямолинейно и равномерно (в частности, покоится), такого изменения не происходит, а значит, воздействия на данное тело со стороны других тел уравновешены.

Раздел механики, излагающий общее учение о силах и изучающий равновесие тел, называется статикой. В статике решаются две основные задачи:

Знание статики очень важно для инженера-строителя: проектируемые здания и сооружения должны выдерживать большие нагрузки и занимать устойчивое неподвижное положение.

Рис. 1.4. Александровская колонна

Другими разделами теоретической механики являются кинематика и динамика. Первый из них изучает движение тел без учета действующих на них сил, а второй – движение тел под действием сил.

1.2. Исходные положения статики

Как и теоретическая механика в целом, статика основывается на небольшом количестве исходных положений (аксиом), из которых с помощью логических рассуждений и математических выкладок выводятся другие утверждения, формулы и т.д. Ниже перечисляются аксиомы статики:

Аксиома 1. Система из двух сил, приложенных к одному и тому же абсолютно твердому телу, уравновешена тогда и только тогда, когда они равны по модулю, противоположны по направлению и имеют общую линию действия (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Равновесие твердого тела под действием двух сил

Пример. Если два человека с равными силами тянут тележку в противоположные стороны (рис. 1.6 а) или толкают ее каждый от себя (рис. 1.6 б), она не сдвинется с места.

Требование к двум уравновешенным силам – иметь общую линию действия – весьма существенно: если оно нарушается, образуется пара сил, которая не является уравновешенной системой.

Замечание. Теперь можно объяснить происхождение термина «уравновешивающая», введенного в п. 1.1. Действительно, согласно данному ранее определению и аксиоме 1, уравновешивающая и равнодействующая образуют систему сил, эквивалентную нулю. Поэтому исходная система сил (без равнодействующей) с присоединенной к ней уравновешивающей также будет уравновешенной.

Важно указать и на такой факт: под действием одной силы свободное тело будет находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эта сила равна нулю.

Замечание. Последнее утверждение более подробно обсуждается не в статике, а в динамике.

Аксиома 2. Действие заданной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к этой системе добавить или из нее исключить уравновешенную систему сил.

Эту аксиому можно сравнить с известным свойством чисел: если к любому числу прибавить или вычесть из него нуль, исходное число не изменится.

Следствие. Действие силы на твердое тело не меняется при переносе ее точки приложения вдоль линии действия. Иными словами, силу можно считать приложенной в любой точке ее линии действия – вектор силы является скользящим.

(Отметим, что вектор называют скользящим, если его можно откладывать от любой точки на его линии действия, не меняя при этом действия самого вектора. Если же вектор может быть отложен от любой точки пространства без изменения действия, то его называют свободным. Векторы, изученные в школьном курсе элементарной математики, – свободные. Сила же таким вектором не является. Более подробно вопрос об откладывании одной и той же силы от разных точек будет разобран далее.)

Доказательство. Предположим, что сила \(\vec F\) отложена от точки A, и требуется перенести ее в некоторую точку B на той же линии действия, как показано на рис. 1.7 а). Для этого присоединим к исходной силе уравновешенную систему сил \(\vec F’\), \(\vec F»\), направленных вдоль той же линии действия, что и \(\vec F\). Очевидно, одна из них (пусть \(\vec F’\)) окажется сонаправленной с \(\vec F\), а другая (\(\vec F»\)) – направленной противоположно ей. Дополнительно потребуем, чтобы сила \(\vec F’\) была отложена от точки B (рис. 1.7 б). Мы имеем на это право, поскольку в аксиоме 1 ничего не сказано о выборе точек приложения уравновешенных сил на их общей линии действия.

После таких построений силы \(\vec F\) и \(\vec F»\) равны по модулю, противоположны по направлению и разделяют общую линию действия. Значит, они уравновешивают друг друга, и их можно отбросить; в итоге остается лишь сила \(\vec F’\). Если теперь сравнить начало и конец рассуждений, то вместо силы, отложенной от точки A мы получили равную по величине и сонаправленную ей силу, отложенную от заданной точки B на той же линии, т.е. добились желаемого результата.

Пример. Чтобы передвинуть одну и ту же тележку с грузом, ее можно либо тянуть, либо толкать (рис. 1.8). Если в обоих случаях прикладывать к ней одну и ту же по величине силу вдоль одной и той же линии действия, то эффект будет одинаковым.

Аксиома 3 (правило параллелограмма сил). Две силы, приложенные к одному и тому же телу в одной и той же точке, имеют равнодействующую, отложенную от этой же точки. Эта равнодействующая изображается диагональю параллелограмма, построенного на исходных силах, как на сторонах (рис. 1.9).

Другими словами, силы, отложенные от одной точки, можно складывать, пользуясь известными правилами действий над векторами.

Рис. 1.9. \(\vec R\) – равнодействующая сил \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\)

Замечание 1. С точки зрения математики безразлично, каким правилом – параллелограмма или треугольника – пользоваться при сложении векторов. Тот же самый вектор \(\vec F_<2>\) на рис. 1.9 можно отложить от конца вектора \(\vec F_<1>\), сложив две силы по правилу треугольника.

Замечание 2. Если к телу приложены две взаимно уравновешенные силы, то их (пользуясь тем, что сила – скользящий вектор) можно отложить от одной точки (рис. 1.10). Если теперь сложить их по правилу параллелограмма, то получится нулевой вектор, ибо параллелограмм сил вырождается в отрезок.

Отметим, что складывать силы, приложенные к разным телам, нельзя: непонятно, к какому телу приложена их равнодействующая.

Аксиома 4 (закон равенства действия и противодействия). Любые два взаимодействующих тела действуют друг на друга с силами, равными по величине, но противоположными по направлению.

Аналогично предыдущей аксиоме, нельзя сказать, что две эти силы образуют уравновешенную систему, ибо они приложены к разным телам.

Аксиома 5 (свойство внутренних сил). При исследовании равновесия твердого тела следует учитывать только внешние силы. Внутренние силы образуют уравновешенную систему и потому при рассмотрении равновесия тела в целом не берутся в расчет.

Замечание. Можно попытаться рассмотреть это утверждение не как самостоятельную аксиому, а как следствие предыдущего исходного положения статики. Действительно, разделим исходное твердое тело на две части. По аксиоме 4, силы, с которыми они взаимодействуют, равны по модулю и противоположны по направлению. С другой стороны, эти силы можно считать приложенными к телу в целом и сделать вывод, что в этом случае они уравновешивают друг друга. Однако возникает вопрос: где гарантия, что у этих сил общая линия действия? Этот факт в общем случае не так просто обосновать, поэтому будем считать свойство внутренних сил самостоятельной аксиомой.

Аксиома 6 (принцип отвердевания). Если деформируемое тело под действием приложенных сил находится в равновесии, то абсолютно твердое тело той же формы и размеров также находится в равновесии.

Пример. Пусть две равные по силе команды перетягивают канат (рис. 1.11). С точки зрения теоретической механики, ничего не изменится, если заменить его жестким стержнем той же формы, размеров и массы.

Обратное, вообще говоря, неверно. Может оказаться так, что абсолютно твердое тело уравновешено, а деформируемое (тех же размеров и формы) – нет. Так, жесткий стержень из предыдущего примера останется в равновесии и в случае, когда его будут не растягивать, а сжимать, прикладывая к противоположным концам равные силы. Канат же в этом случае сомнется.

1.3. Сходящаяся система сил

Рассмотрим систему сил \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\). приложенных к твердому телу, и попытаемся найти их равнодействующую. Это просто, если все силы отложены от одной точки. Сначала по правилу параллелограмма сложим \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\), заменив их одной равнодействующей \(\vec R_<1>\); затем таким же образом сложим силы \(\vec R_<1>\) и \(\vec F_<3>\), заменяя их силой \(\vec R_<2>\), и т.д. (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Последовательное сложение нескольких сил по правилу параллелограмма

Тем самым, на каждом следующем шаге мы будем переходить к эквивалентной системе сил, содержащей на одну силу меньше, чем на предыдущем шаге. В конце концов, останется единственная сила, приложенная к телу; она и будет равнодействующей исходной системы.

Возникает вопрос: как быть, если точки приложения сил не совпадают?

Дадим определение. Система сил, приложенных к телу, называется сходящейся, если все их линии действия пересекаются в одной точке (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Сходящаяся система сил

В таком случае можно воспользоваться следствием из аксиомы 2 и перенести все силы в точку пересечения их линий действия, после чего сложить, как описано выше. Отсюда можно сделать важный вывод:

Сходящаяся система сил имеет равнодействующую. Она представляет собой векторную сумму сил, приложенных к телу, и прикладывается в точке пересечения их линий действия.

Замечание. Если твердое тело находится под действием сходящейся системы сил, то его во многих случаях можно считать материальной точкой. Размеры тела перестают играть роль – оно «стягивается» в ту точку, где пересекаются линии действия всех приложенных к нему сил.

Как уже было сказано, при сложении сил, отложенных от одной точки, применяются обычные «школьные» правила действий над векторами. Например, их можно складывать по правилу многоугольника: начало каждого следующего вектора силы должно совпадать с концом предыдущего. При этом самый первый вектор откладывается от точки пересечения A линий действия сил. Полученная геометрическая фигура называется силовым многоугольником. Чтобы найти равнодействующую \(\vec R\), остается соединить начало многоугольника с его концом (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Построение силового многоугольника и равнодействующей

Если известны компоненты сил вдоль осей некоторой системы координат, все операции можно произвести аналитически, складывая или вычитая соответствующие проекции разных сил.

Замечание. Далее при действиях над векторами в кординатах будем всегда предполагать, что используемая система координат – декартова прямоугольная. Если речь идет о координатах в пространстве, то система координат считается правой: при взгляде с конца третьей оси кратчайший поворот от первой оси ко второй должен быть виден происходящим проив часовой стрелки. Все эти свойства далее специально оговариваться не будут.

Выше отмечалось, что одной из основных задач статики служит изучение условий равновесия систем сил, действующих на твердые тела. Для изучаемого нами случая это условие формулируется так:

Тело под действием сходящейся системы сил находится в равновесии, если геометрическая сумма всех приложенных к нему сил равна нулю.

Действительно, сходящаяся система эквивалентна одной силе – равнодействующей. Следовательно, если система уравновешена, то эта сила должна быть нулевой. Поэтому силовой многоугольник уравновешенной системы должен быть замкнутым – для получения нулевой равнодействующей его начало обязано совпасть с концом.

Очевидно, плоская система из двух непараллельных сил всегда является сходящейся: на плоскости прямые либо пересекаются, либо параллельны. Три силы уже могут не быть сходящимися: линия действия третьей силы может «проехать» мимо точки пересечения первых двух. Связать вопросы о равновесии и сходимости плоской системы трех непараллельных сил помогает следующее утверждение.

Теорема (о трех силах). Если твердое тело под действием плоской системы из трех сил находится в равновесии, то их линии действия пересекаются в одной точке.

Доказательство. Пусть к телу приложены силы \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\), лежащие в одной плоскости, причем \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) не параллельны. Тогда их линии действия пересекаются, и эти силы имеют равнодействующую \(\vec R\) (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Доказательство теоремы о трех силах

Исходная уравновешенная система \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\), \(\vec F_<3>\) эквивалентна двум силам \(\vec F_<3>\) и \(\vec R\), которые, таким образом, обязаны уравновешивать друг друга. Значит, они разделяют общую линию действия. Но (по нашему построению) на ней лежит точка пересечения линий действия сил \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\). Тем самым, линии действия всех трех исходных сил пресекаются в этой точке. Теорема доказана.

Обратное неверно: понятно, что произвольная сходящаяся плоская система трех сил не обязана быть уравновешенной. Она может иметь равнодействующую, не равную нулю.

В пространстве уже и система из двух непараллельных сил может не быть сходящейся, ибо их линии действия в пространстве могут оказаться скрещивающимися.

Вопросы для самоконтроля

Задачи к лекции

Силы \(F_<1>=6\sqrt<2>\) Н и F₂ = 2 Н приложены к одной точке и образуют угол 45°. Найти величину их равнодействующей.

Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов.

Силы \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\) и \(\vec F_<3>\) лежат в плоскости Oxy, причем их линии действия проходят через начало координат. Сила \(\vec F_<1>\), численно равная 20 Н, образует с положительным направлением оси Ox угол, равный 30°, сила \(\vec F_<2>\), численно равная \(20\sqrt<3>\) Н, – угол в 120°, а сила \(\vec F_<3>\), чья величина составляет 10 Н, – угол 270°. Найти величину их уравновешивающей и угол, который она образует с положительным направлением оси абсцисс.

Указание. Запишите уравнения линий действия всех сил, найдите точку пересечения первых двух линий и докажите, что третья линия проходит через эту точку.

Ответы. 1. 10 Н. 2. 30 Н; 90°. 3. 300 Н. 4. \(\vec R=\<-1;7\>\); A(1; 2).

Источник