что называется объединением множеств а и в
Лекция 4. Объединение множеств.
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Лекция 4. Объединение множеств. Свойства объединения множеств.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают А ∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = < х | х ∈ А или х ∈ В>.
Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область (рис. 4).
Для объединения множеств выполняются следующие свойства.
1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∪ В = В ∪ А.
2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С).
3) А ∪ ∅ = А (пустое множество является нейтральным элементом).
4) А ∪ U = U (универсальное множество является поглощающим элементом).
5) Если В ⊂ А, то А ∪ В = В
Операции объединения и пересечения множеств связаны законами дистрибутивности или иначе распределительными свойствами:
(А ∪ В) ∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) и (А∩В) ∪ С = (А ∪ С) ∩(В ∪ С).
П р и м е р 1. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.
Р е ш е н и е. Запишем множества А и В, перечислив их элементы: А = < м, а, т, е, и, к >, В = < с, т, е, р, о, м, и, я >. Буквы м, т, е, и принадлежат и множеству А, и множеству В, поэтому они войдут в пересечение этих множеств: А∩В = < м, т, е, и >. В объединение этих множеств войдут все элементы множества А и несовпадающие с ними элементы из множества В: А ∪ В = < м, а, т, е, и, к, с, р, о, я >.
П р и м е р 2 . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?
Р е ш е н и е. Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.
Задания для самостоятельной работы по теме:
1.Найдите объединение множеств А и В, если: